ME study note

 동차 변환(Homogeneous Transformaions)이란 벡터의 회전과 평행이동을 하나의 행렬 곱셈으로 연산하는 방법이다. 1. 위치 표현(Representing Positions) 벡터 표현에 대한 notation은 다음과 같다. $$p^a$$ 위 표기는 $a$번 좌표계를 기준으로 한 $p$ 벡터를 의미한다. 위 그림에서 0번 좌표계를 기준으로 한 p점까지의 벡터는 $p^0$이고 1번 좌표계를 기준으로 한 벡터는 $p^1$이라 표현한다. 또한 좌표계의 원점과 원점 사이의 벡터를 표현할 때에는 0번 좌표계에서 1번좌표계의 원점까지의 벡터는 $o_1^0$,  1번 좌표계에서 0번 좌표계의 원점까지의 벡터는 $o_0^1$ 과 같이 표현한다. 만약 1번 좌표계에서 $v_1$을 표현할때에는 $v_1$의 시작점이 1번 좌표계의 원점으로 평행이동했다 생각하여 $v_1^1$과 같이 표기한다. 쉽게 생각하자면, 벡터의 시작점은 superscript로 표기하고 끝점은 subscript로 표기한다 생각하면 된다. 2. 회전 변환(Representing Rotations) 위 그림에서 각각 좌표축을 크기가 1인 단위벡터라 생각하자. 이때 Rotation matrix는 다음과 같이 정의한다. $$\begin{matrix}R_1^0 &=& \left[ x_1^0 \mid y_1^0 \right] \\ &=& \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{matrix}$$ 이는 0번 좌표계에서 바라본 $\theta$만큼 회전한 좌표계의 좌표이다. 위 식에서 행 또는 열은 크기가 1이며 서로 수직 관계라는것을 알 수 있다. 이를 내적의 형태로 표현할 수도 있다. $$R_1^0 = \begin{bmatrix} x_1 \cdot x_0 & y_1 \cdot x_0 \\ x_1 \cdot y_0 ...

1. 운동량과 충격량의 개념 운동방정식을 변형하면 다음과 같이 표현할 수 있다. $$\sum \mathbf{F} = ma = m \frac{dv} {dt} \\ \rightarrow \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, dt = m \int_{v1}^{v2}\, dv \\ \rightarrow \sum \int_{t_2}^{t_2} \mathbf{F}\, dt = mv_2 - mv_1$$ 위 방정식을 선형 운동량과 충격량식(Principle of linear impulse and momentum) 이라 한다. 따라서 힘이 시간 $t$에 관한 함수 또는 상수로 주어졌을때 물체의 초기 속도$v_1$를 안다면 그 물체의 나중 속도 $v_2$를 알 수 있다. 1.1 선형 운동량(LInear Momentum) 위의 선형 운동량과 충격량 식에서 우변항의 질량과 속도를 곱한 물리량을 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\mathbf{L} = mv$$ 이때 $\mathbf{L}$을 운동량(Linear momentum)이라 정의하며 질량 $m$은 스칼라이고 속도 $v$는 벡터량이다.  운동량의 단위는 $kg \cdot m/s$이다(si단위계) 1.2 선형 충격량(Linear impulse) 마찬가지로 좌변항도 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, dt$$ 위 식에서 힘 $\mathbf{F}$은 t에대한 식 혹은 상수로 주어질 수 있으며 만약 상수인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_c\, dt = \mathbf{F}_c(t_2 - t_1)$$ 따라서 충격량의 단위는 $N \cdot s$이다. 2. 운동량 보존 법칙 외력 $\mathbf{F}$가 0인 경우 선형 운동량과 충격량 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\sum_{i} m_i(v_i)_1 = \sum_{i} m_i(v_i)_2$$ 위 ...