1. 운동량과 충격량의 개념
운동방정식을 변형하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$\sum \mathbf{F} = ma = m \frac{dv} {dt} \\ \rightarrow \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, dt = m \int_{v1}^{v2}\, dv \\ \rightarrow \sum \int_{t_2}^{t_2} \mathbf{F}\, dt = mv_2 - mv_1$$
위 방정식을 선형 운동량과 충격량식(Principle of linear impulse and momentum) 이라 한다.
따라서 힘이 시간 $t$에 관한 함수 또는 상수로 주어졌을때 물체의 초기 속도$v_1$를 안다면 그 물체의 나중 속도 $v_2$를 알 수 있다.
1.1 선형 운동량(LInear Momentum)
위의 선형 운동량과 충격량 식에서 우변항의 질량과 속도를 곱한 물리량을 다음과 같이 정의할 수 있다.
$$\mathbf{L} = mv$$
이때 $\mathbf{L}$을 운동량(Linear momentum)이라 정의하며 질량 $m$은 스칼라이고 속도 $v$는 벡터량이다.
운동량의 단위는 $kg \cdot m/s$이다(si단위계)
1.2 선형 충격량(Linear impulse)
마찬가지로 좌변항도 다음과 같이 정의할 수 있다.
$$\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, dt$$
위 식에서 힘 $\mathbf{F}$은 t에대한 식 혹은 상수로 주어질 수 있으며 만약 상수인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_c\, dt = \mathbf{F}_c(t_2 - t_1)$$
따라서 충격량의 단위는 $N \cdot s$이다.
2. 운동량 보존 법칙
외력 $\mathbf{F}$가 0인 경우 선형 운동량과 충격량 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\sum_{i} m_i(v_i)_1 = \sum_{i} m_i(v_i)_2$$
위 식을 선형 운동량 보존 법칙(Conservation of linear momentum) 이라고 한다.
3. 충격량
충격량이란 두개의 물체가 짧은 시간동안 충돌할때 발생되는 물리량이다.
충돌은 중심 충돌(Central impact)과 비스듬한 충돌(Oblique impact)로 구분된다.
3.1 중심 충돌(Central impact)
아래와 같은 상황에서 단계별로 식을 유도해보자
위 상황에서 충돌을 하기 위해 $(v_a)_1 > (v_b)_1$라고 가정하자.
외력이 없는 상황이므로 운동량 보존 법칙을 사용하면 다음과 같다.
$$m_a(v_a)_1 + m_b(v_b)_1 = m_a(v_a)_2 + m_b(v_b)_2$$
충돌하게 되면 다음 그림과 같이 작용 반작용법칙에 따라 동등한 힘이 가해진다.
그 다음 두 물체가 변형되어 같은 속도로 이동하게 된다.
이때 충돌 직전 속력과 위 속력에 대하여 운동량 보존 법칙을 적용하면 다음과 같다.
$$m_a(v_a)_1 - \int \mathbf{P}\, dt = m_av \cdots(a1) \\ m_b(v_b)_1 + \int \mathbf{P}\, dt = m_bv \cdots(b1)$$
그 다음으로 변형되었던 물체가 원상태로 돌아오면서 두 물체가 분리된다.
이때 두 물체가 같은 속도로 거동할때와 위 상황에서 운동량 보존 법칙을 적용하면 다음과 같다.
$$m_av - \int \mathbf{R}\, dt = m_a(v_a)_2 \cdots(a2) \\ m_bv + \int \mathbf{R}\, dt = m_b(v_b)_2 \cdots(b2)$$
이때 발생하는 충돌시 반발 비를 반발계수라 하는데 다음과 같이 정의된다.
$$e = \frac{\int \mathbf{R}\, dt} {\int \mathbf{P}\, dt}$$
$(a1)$과 $(a2)$, $(b1)$과$(b2)$를 이용하여 반발계수를 구하고 $v$를 소거하면 다음과 같다.
$$\begin{matrix} e = \frac{\int \mathbf{R}\, dt} {\int \mathbf{P}\, dt} &=& \frac{v - (v_a)_2} {(v_a)_1 - v} \\ &=& \frac{(v_b)_2 - v} {v - (v_b)_1}\end{matrix}$$
$$\rightarrow \begin{cases} \left[(v_a)_1 - v \right]e = v - (v_a)_2 \\ \left[v - (v_b)_1 \right]e = (v_b)_2 - v \end{cases}$$
$$\rightarrow \begin{cases} (1+e)v = (v_a)_1e + (v_a)_2 \\ (1 + e)v = (v_b)_2 + (v_b)_1e\end{cases}$$
$$\therefore e = \frac{(v_b)_2 - (v_a)_2} {(v_a)_1 - (v_b)_1}$$
이때 반발계수e가 1일때는 완전탄성충돌(perfectly elastic)이라 하며 $\int \mathbf{P}\, dt$와 $\int \mathbf{R}\, dt$가 같으므로 변형 충격량(deformation impulse)과 복원 충격량(restitution impulse)이 같다고 해석할 수 있다.
반면, 반발계수e가 0일 경우 완전 비탄성 충돌(inelastic)이라 하며$\int \mathbf{R}\, dt$값이 0이므로 충돌 후 반발력이 0임을 의미한다.
따라서 두 물체가 붙어서 같이 움직이게 된다.
3.2 비스듬한 충돌(Oblique impact)
충돌이 위와 같이 비스듬이 이루어질 경우 점선의 충돌면을 기준으로 점선과 수직 방향 성분은 반발계수 식을 사용하여 구할 수 있다.
반변 충돌면에 평행한 성분은 관성의 법칙에 의해 속도가 보존된다.
이와 같이 성분을 나눠 생각하여 해결할 수 있다.
4. 각운동량(Angular momentum)
각 운동량은 축을 기준으로 회전하는 질량에 의한 운동량으로 다음과 같이 정의된다.
$$\mathbf{H} = (d)(mv)$$
벡터 형태로 나타내면 외적을 이용하여 나타낼 수 있다.
$$\mathbf{H} = r \times mv$$
모멘트의 각운동량 식의 관계를 유도해보자.
$$\mathbf{M} = r \times \mathbf(F) = r \times m\dot{v}$$
이므로 각운동량을 미분하면
$$\dot{\mathbf{H}} = \dot{r} \times mv + r \times m\dot{v}$$
이때.
$$\begin{matrix} \dot{r} \times mv &=& m(\dot{r} \times \dot{r}) \\ &=& 0\end{matrix}$$
이므로 다음 식이 성립한다.
$$\dot{\mathbf{H}} = \mathbf{M}$$
5. 각운동량과 충격량
선형 운동량과 충격량에서와 같은 원리로 다음과 같은 식이 도출된다.
$$\sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{M}\, dt = \mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1$$
따라서 외력이 없을 경우 각운동량 보존 법칙은 다음과 같다.
$$\mathbf{H}_1 = \mathbf{H}_2$$
Comments
Post a Comment