스칼라 삼중적(scalar triple product)

1. 스칼라 삼중적(scalar triple product)의 정의

세 개의 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$의 스칼라 삼중적은 다음과 같이 정의된다.

$$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$

내적이 마지막에 이루어지므로 위 식의 결과는 스칼라값이다.

이를 행렬식의 형태로 나타낼 수 있다.

$$\begin{matrix} \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) &=& (a_1,\ a_2,\ a_3) \left( \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} b_3 & b_1 \\ c_3 & c_1 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \right) \\ &=& a_1 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} + a_2 \begin{vmatrix} b_3 & b_1 \\ c_3 & c_1 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \\ &=& \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{matrix}$$

위 행렬식의 행의 위치를 수정해보자

첫번째 행과 두번째행을 바꾸고 첫번째 행과 세번째 행을 바꾸면 다음과 같다.

$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$$

행렬식에서 행을 두번 바꿨으므로 부호는 동일하다.

$$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$$

따라서 내적 연산과 외적 연산을 서로 바꾸어도 성립한다.

2. 스칼라 삼중적의 응용

이를 이용하여 평행육면체 혹은 사면체의 부피를 구할 수 있다.

예시로 사면체의 부피를 구해보자

사면체의 세 모서리를 이루는 벡터를 $\mathbf{a},\ \mathbf{b},\ \mathbf{c}$이라 할 때,

밑면을 $\mathbf{b}$와 $\mathbf{c}$가 이루는 평면이라 가정하면

밑면 삼각형의 넓이는

$${1 \over 2}\left| \mathbf{b} \right| \left| \mathbf{c} \right| sin \theta = {1 \over 2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$

위 벡터의 크기가 되며 위 벡터의 방향은 밑면과 수직이다.

사면체의 높이는 $\mathbf{a}$를 이 벡터에 내적하면 구할 수 있다.

따라서 사면체의 부피는

$${1 \over 3}\mathbf{a} \left[ {1 \over 2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \right] = {1 \over 6}(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})$$

이다.

반면 평행육면체의 부피는 마찬가지로

$$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$

이와 같이 구할 수 있다.