스칼라장의 기울기(gradient). 방향도함수(directional derivative)

1. 기울기(gradient)

3차원 직교좌표에서 미분 가능한 스칼라 함수$f(x, y, z)$가 주어졌을 때 이 함수의 기울기(gradient)는 $grad\ f$ 또는 $\nabla f$로 표기하며 다음과 같이 정의한다.

$$grad\ f = \nabla f = \left[ {\partial f \over \partial x}, {\partial f \over \partial y}, {\partial f \over \partial z} \right] = {\partial f \over \partial x}\mathbf{i} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{j} + {\partial f \over \partial z}\mathbf{k} $$

2. 방향도함수(directional derivative)

공간상의 점 $P$에서 단위벡터$b$ 방향으로의 미분 가능한 스칼라 함수 $f$의 방향도함수$D_\mathbf{b}f$ 또는 ${df \over ds}$는 다음과 같이 정의한다.

$$D_bf = {df \over ds} = \lim_{s \rightarrow 0} {f(Q) - f(P) \over s}$$

여기서 $Q$는 $\mathbf{b}$ 방향의 직선위의 점이고 $s$는 $P$와 $Q$사이의 거리를 나타내며 $Q$가 $\mathbf{b}$ 방향이면 양수이고 $-b$방향이면 음수이다.

만약 $\mathbf{b}$가 크기가 1인 단위벡터 일 때, 

$\mathbf{b}$방향의 직선의 방정식을 벡터를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

$$\mathbf{r}(s) = x(s)\mathbf{i} + y(s)\mathbf{j} + z(s)\mathbf{k} = \mathbf{p}_0 + s\mathbf{b}$$

위의 방향도함수 정의에 따르면

$$\begin{matrix}D_\mathbf{b}f = {df \over ds} &=& {\partial f \over \partial x}x' + {\partial f \over \partial y}y' + {\partial f \over \partial z}z' \\ &=& \left({\partial f \over \partial x} + {\partial f \over \partial y} + {\partial f \over \partial z} \right) \left(x' + y' + z' \right) \end{matrix}$$

위 직선의 방정식을 미분하면

$$\mathbf{r}' = x'\mathbf{i} + y'\mathbf{j} + z'\mathbf{z} = \mathbf{b}$$

따라서,

$$D_\mathbf{b}f = \mathbf{b} \cdot grad\ f$$

반면 임의의 크기를 가진 0이 아닌 벡터 $a$에 대해서는

$$D_af = {1 \over {\left| \mathbf{a} \right|}}\mathbf{a} \cdot grad\ f$$

이다.

3. 기울기의 여러가지 해석

3.1 최대증가 방향벡터

조금 다른 관점으로 바라볼 수도 있다.

내적의 성질을 이용하여 식을 변형하면

$$D_{\mathbf{b}}f = \left| \mathbf{b} \right| \left| grad\ f \right| cos\gamma = \left| grad\ f \right| cos\gamma$$

에서 $D_{\mathbf{b}}f$의 최댓값은 $\left| grad\ f \right|$이므로 $grad\ f$는 $f$의 최대증가 방향이라고 생각할 수 있다.

3.2 곡면의 법선벡터

이를 활용하여 곡면의 법선벡터도 구할 수 있다.

$f(x, y, z) = c$의 형태의 곡면이 주어졌을 때 이 곡면의 접평면(tangent plane)은

$$\mathbf{r}' = \left[ x(t)' + y(t)' + z(t)' \right]$$

이고 위 식의 양변을 미분하여 정리하면

$${\partial f \over \partial x}x' + {\partial f \over \partial y}y' + {\partial f \over \partial z}z' = \left( grad\ f \right) \cdot \mathbf{r}' = 0$$

이다.

따라서 $grad\ f$는 접평면과 수직이므로 법선벡터이다.

3.3 퍼텐셜(Potential)

실제 역학적으로 적용할 수 있는 예시로는 퍼텐셜(Potential)이 있다.

퍼텐셜$(f)$에 의한 벡터장$(\mathbf{v})$은 에너지가 보존되며 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\mathbf{v}(P) = grad\ f$$

또한 다음 식이 성립한다.

$$\nabla^2f = {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} = 0$$

위를 Laplace 방정식이라 한다.

이때 $\nabla^2f$를 $f$의 Laplace 작용소(Laplacian)이라 한다.

혹은 $\nabla^2$를 nabla 제곱, Laplace 연산자(Laplace operator)라고도 한다.

이를 중력장 퍼텐셜에 적용하여 증명하면 다음과 같다.

중력 퍼텐셜은 $\mathbf{p} = c/r$ 이다.

이때

$$r = ((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2)^{0.5}$$

이므로 $x$에 대한 편미분 먼저 계산하면

$${\partial \over \partial x} \left( {1 \over r} \right) = {-2(x-x_0) \over 2((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2)^{1.5}} = -{x-x_0 \over r^3}$$

마찬가지로

$${\partial \over \partial y} \left( {1 \over r} \right) = -{y-y_0 \over r^3},\ {\partial \over \partial z} \left( {1 \over r} \right) = -{z-z_0 \over r^3}$$

따라서 중력장은 다음과 같다.

$$\mathbf{p} = -c \left[ {x-x_0 \over r^3},\ {y-y_0 \over r^3},\ {z-z_0 \over r^3} \right]$$

한번 더 편미분 하여 각 성분을 합하면 다음과 같다.

$${\partial^2 f \over \partial x^2} \left( {1 \over r} \right) = -{1 \over r^3} + {3(x-x_0)^2 \over r^5} \\ {\partial^2 f \over \partial y^2} \left( {1 \over r} \right) = -{1 \over r^3} + {3(y-y_0)^2 \over r^5} \\ {\partial^2 f \over \partial z^2} \left( {1 \over r} \right) = -{1 \over r^3} + {3(z-z_0)^2 \over r^5} \\ \therefore \nabla^2 \mathbf{p} = \left[ 3((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2) - 3r^2 \right]/r^5 = 0$$

따라서 중력장에서 Laplace 방정식이 만족한다.