벡터장의 발산(divergence)

1. 벡터장의 발산(divergence)의 정의

함수 $\mathbf{v}(x, y, z)$가 미분 가능하다 할 때 벡터장의 발산은 아래와 같이 정의한다.

$$div\ \mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = {\partial v_1 \over \partial x} + {\partial v_2 \over \partial y} + {\partial v_3 \over \partial z}$$

$v_1, v_2, v_3$는 $\mathbf{v}$의 성분이다.

다음과 같은 표현도 가능하다.

$$\begin{matrix} div \mathbf{v} &=& \left[ {\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right] \cdot \left[ v_1, v_2, v_3 \right] \\ &=& {\partial v_1 \over \partial x} + {\partial v_2 \over \partial y} + {\partial v_3 \over \partial z} \end{matrix}$$

스칼라장의 기울기에서 공부한 Laplace 방정식을 이 발산의 개념을 이용하여 설명할 수 있다.

$$div\ (grad\ f) = {\partial^2f \over \partial x^2} + {\partial^2f \over \partial y^2} + {\partial^2f \over \partial z^2} = \nabla^2f$$

2. 발산의 물리적 의미, 압축성 유체의 운동

유체가 각 모서리가 좌표축에 평행한 직육면체를 통한다.

유체의 속력($v$)은 $v = [v_1, v_2, v_3]$ 일때 그림과 같이 $y$ 방향으로 유체가 흐른다고 하자.

이때 $u = \rho v$라 하고 이때 유체의 질량유동식을 구하면

$$(\rho v_2)_y \Delta x \Delta y \Delta t = (u_2)_y \Delta x \Delta y \Delta t $$

이고 직육면체를 통과한 유동은 다음과 같다.

$$(\rho v_2)_{y+\Delta y} \Delta x \Delta y \Delta t = (u_2)_{y + \Delta y} \Delta x \Delta y \Delta t $$

이때 손실된 질량은 다음과 같다.

$$\Delta u_2 \Delta x \Delta z \Delta t = {\Delta u_2 \over \Delta y} \Delta V \Delta t \\ (\Delta u_2 = (u_2)_{y + \Delta y} - (u_2)_y)$$

나머지 방향의 손실 질량도 고려하여 총 손실 질량을 구할 수 있다.

$$\left[ {\Delta u_1 \over \Delta x} + {\Delta u_2 \over \Delta y} + {\Delta u_3 \over \Delta z} \right] \Delta V \Delta t$$

직육면체 내부의 총 손실질량은 밀도의 시간적 변화율에 의해 발생한다.

$$-{\partial \rho \over \partial t} \Delta V \Delta t$$

위의 두 식을 정리하면

$${\partial \rho \over \partial t} + div (\rho v) = 0$$

이고 이 식을 압축성 유체의 연속방정식(continuity equation)이라 한다.

만약 정상 유동(stady)일 경우 시간에 독립정이므로 좌측항이 소거되어

$$div(\rho v) = 0$$

이 되며 만약 밀도가 상수인 경우에는

$$div(v) = 0$$

이 성립한다. 이 식은 유체의 비압축성 조건(condition of incompressibility)으로 알려져 있다.