불 대수 정리(Boolean algebra)

1. 불 대수란? 

불 대수는 전자회로 논리게이트 구성뿐 아니라 딥러닝에서 다층 퍼셉트론을 구현하는데에도 사용된다.

각 게이트에대한 불 대수 표기이다.

2. 불 대수의 성질

불 대수는 기본적으로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간 법칙 등이 성립한다.

(1)

$$A \cdot 0 = 0 \\ A \cdot 1 = A \\ B + 0 = B \\ B + 1 = 1$$

$\cdot$ 와 $+$ 는 각각 AND 게이트와 OR 게이트를 말하는데 각 게이트에 대입해보면 알 수 있다.

(2) 교환법칙

$$A \cdot B = B \cdot A \\ A + B = B + A$$

각 게이트의 입력 순서에 상관없이 결과값은 일정하다.

(3)

$$A \cdot A = A \\ A + A = A$$

A에 0을 대입하면 AND 게이트, OR 게이트 모두 0이 출력되고 1을 대입하면 모두 1이 출력된다. 따라서 두 식 모두 (좌변) = A 이다.

(4) (분배법칙, Distributive law)

$$A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) \cdots (a) \\ A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) \cdots (b)$$

(a) 

진리표를 만들어 좌변과 우변이 같다는것을 증명하였다.

(b)

마찬가지로 진리표를 만들어보았다.

(5)

$$A \cdot \bar{A} = 0 \\ A + \bar{A} = 1$$

A에 0 또는 1을 대입해보면 알 수 있다.

(6) 드모르간의 법칙(De Morgan's law)

$$\overline{(A \cdot B)} = \bar{A} + \bar{B} \\ \overline{(A + B)} = \bar{A} \cdot \bar{B}$$

이도 위와 마찬가지로 진리표를 만들어 확인해 보면 된다.

(7)

$$A + A \cdot B = A$$

분배법칙을 역으로 이용하여 식을 정리하면 다음과 같다.

$$A \cdot (1 + B) = A$$